Оптимальная фильтрация состояний специальных марковских скачкообразных процессов по непрерывным наблюдениям с мультипликативными шумами I: теоретическое решение

Статья посвящена определению условного распределения специального марковского скачкообразного процесса по наблюдениям в реальном масштабе времени. Оцениваемый процесс может быть трактован как марковская цепь в непрерывном времени со значениями в пространстве случайных величин. Доступные наблюдения представляют собой диффузионные процессы, снос и диффузия в которых являются функциями оцениваемого состояния. Исследован случай линейной зависимости диффузии от состояния. Предложена эквивалентная трансформация, преобразующая исходный наблюдаемый процесс в совокупность диффузионного процесса с единичной диффузией и функции состояния, наблюдаемой без шума. Доказано, что условное распределение состояния сосредоточено на некоторых линейных многообразиях исходного пространства. Представлен набор мер, относительно которых условное распределение абсолютно непрерывно. Соответствующая плотность определена решением рекуррентно связанных интегро-дифференциальных уравнений типа Кушнера– Стратоновича и интегральных преобразований, выполняемых в моменты скачков бесшумовой компоненты преобразованных наблюдений. Исследована задача точного восстановления компонент оцениваемого процесса по имеющимся зашумленным наблюдениям и приведено ее частное решение.