Интегральная устойчивость динамических систем: метод взвешенного фазового объема и эллипсоидальная аппроксимация

Предложен подход к анализу диссипативности и устойчивости динамических систем, основанный на понятии взвешенного фазового объема. Для произвольной весовой функции получено интегральное тождество, описывающее эволюцию взвешенного объема движущейся области и его обратной величины. Установлена связь полученных соотношений с теоремой Лиувилля об изменении фазового объема и транспортной теоремой Рейнольдса из механики сплошных сред. Сформулированы достаточные условия диссипативности и интегральной устойчивости. Показано, что одновременное выполнение условий для весовой функции и ее обратной величины накладывает геометрические ограничения на динамику системы. На основе этих условий построены эволюционные уравнения для покрывающего и внутреннего эллипсоидов, аппроксимирующих множества достижимости. Доказана связь интегральной устойчивости с классической устойчивостью по Ляпунову. Полученные теоретические результаты проиллюстрированы численными примерами.